Особливості розв'язання електромеханічних задач за допомогою рівнянь Лагранжа

Abstract

В класичній теоретичній механіці та робототехніці для розрахунку складних механічних систем і отримання диференційних рівнянь руху широко застосовуються рівняння Лагранжа. Гіпотезу про можливість застосування рівнянь Лагранжа для розрахунку електромеханічних систем висунув ще Д. Максвелл у 1873 році на базі методу електромеханічної аналогії, яка дає можливість описувати взаємодію між рухом точок, твердих тіл, електричних та електромагнітних явищ. Завдяки своєї універсальності (використання узагальнених координат та узагальнених сил) метод має чітку послідовність дій. Мета та задачі. Розробка та апробація методики моделювання електромеханічних систем із використанням лагранжевого формалізму, що дозволить ефективно описувати їхню динаміку та проводити розрахунки для інженерних задач. Методи. Методи, що використовувались даній статі: чисельні методи розв’язання системи нелінійних рівнянь – метод кінцевих різниць четвертого порядку. Результати. Отримано диференційні рівняння розрахунку ІДМ (рушія Томсона) за допомогою рівнянь Лагранжа другого роду з урахуванням дискретної зміни швидкості системи під дією імпульсної сили. Виводи. Рівняння Лагранжа є потужним інструментом аналітичної механіки, що дозволяють формалізувати динаміку складних електромеханічних систем з урахуванням енергетичних взаємозв’язків. Проте застосування цього підходу до електромеханічних систем потребує його адаптації та врахування специфіки фізичних процесів зіткнення, якщо такі відбуваються. Результати розрахунку ІДМ (рушія Томсона) за допомогою рівнянь Лагранжа, які отримані в даній статті, досить точно співпадають з очікуваними результатами (закон збереження імпульсу системи та величині втрати кінетичною енергії при не пружному зіткненні). In classical theoretical mechanics and robotics, Lagrange's equations are widely used to calculate complex mechanical systems and obtain differential equations of motion. The hypothesis of the possibility of using Lagrange's equations to calculate electromechanical systems was put forward by D. Maxwell in 1873 on the basis of the method of electromechanical analogy, which makes it possible to describe the interaction between the motion of points, solids, electrical and electromagnetic phenomena. Due to its universality (the use of generalized coordinates and generalized forces), the method has a clear sequence of actions. Purpose. Development and testing of a methodology for modeling electromechanical systems using Lagrangian formalism, which will allow for effective description of their dynamics and calculations for engineering problems. Methods. Differential equations for calculating the IDM (Thompson thruster) using Lagrange equations of the second kind, taking into account the discrete change in the velocity of the system under the action of the impulse force, have been obtained. Results. The obtained results illustrate computational structures in which, under certain parameters, a transition occurs between chaotic and structured systems. Conclusions. Lagrange's equations are a powerful tool of analytical mechanics, allowing to formalize the dynamics of complex electromechanical systems taking into account energy relationships. However, the application of this approach to electromechanical systems requires its adaptation and taking into account the specifics of the physical processes of the collision, if any. The results of the calculation of the IDM (Thompson thruster) using the Lagrange equations, which are obtained in this article, quite accurately coincide with the expected results (the law of conservation of momentum of the system and the magnitude of kinetic energy loss in an inelastic collision).