Умови монотонної апроксимації кривих Рамсея та їх модифікацій

Abstract

Розроблено алгоритм апроксимації експериментальних даних кривою Рамсея та її модифікаціями, який забезпечує монотонне зростання наближаючої функції на проміжку [0; + ∞) та існування заданої кількості точок перегину. Крива Рамсея належить до сім’ї логістичних кривих, які широко використовуються при моделюванні процесів обмеженого росту в різних предметних галузях. Класична крива Рамсея має два параметри та володіє лівою фіксованою асиметрією. Відома також її трьохпараметрична модифікація,яка забезпечує можливість зміщення по осі ординат. Широке практичне використання кривої Рамсея як з двома параметрами, так і її модифікацій з більшою кількістю параметрів, для наближення експериментальних залежностей стримується частою втратою цією кривою логістичної форми при виконанні апроксимації без додаткових вимог до співвідношень між її параметрами. В статті розглядаються модифікації кривої Рамсея з трьома та п’ятьма параметрами. Перша та друга похідні від досліджуваних модифікацій функції Рамсея мають особливу структуру. Вони є добутками поліноміальної та експоненціальної функцій. Це дозволяє використовувати теорему Штурма про кількість коренів полінома на відрізку для контроля форми апроксимуючої кривої. Показано, що з ростом кількості параметрів у модифікованої кривої значно зростає кількість можливих сполучень обмежень на значення параметрів, які забезпечують збереження її S-подібної форми. Розв’язання задачі апроксимації в цьому випадку складається з розв’язання низки задач умовної глобальної оптимізації з різними обмеженнями та вибору розв’язку, який забезпечує найменшу похибку наближення. Також виконані дослідження щодо точності оцінювання параметрів кривої Рамсея в залежності від точності експериментальних даних. Для імітації наявності похибок вимірювань до значень детермінованої послідовності додавалися значення нормально розподіленої випадкової величини з математичним сподіванням, рівним нулю, та різними значеннями середньоквадратичного відхилення для різних серій обчислювальних експериментів. Обчислювальні експерименти показали суттєву чутливість значень параметрів функції Рамсея до точності вимірювань експериментальних даних.

The algorithm for approximating the experimental data of the Ramsey curve and its modifications has been developed, which provides a monotonic increase of the approximating function in the interval [0; + ∞) and an existence of a given number of inflection points. The Ramsey curve belongs to the family of logistic curves that are widely used in modeling of limited increasing processes in various subject fields. The classical Ramsey curve has two parameters and has a left constant asymmetry. It is also known that its three-parameter modification provides the possibility of displacement along the axes of ordinate. The extensive practical use of the Ramseycurve with both two and more parameters for approximating experimental dependences is restrained by the frequent loss by this curve of the logistic shape when approximating without additional restrictions on the relationships between its parameters. The article discusses modifications of the Ramsey curve with three and five parameters. The first and second derivatives of the studied modifications of the Ramsey function have a special structure. They are products of polynomial and exponential functions. Thisallows using Sturm's theorem on the number of polynomial roots in a given interval to control the shape of the approximating curve. It has been shown that with an increase in the number of parameters for the modified curve, the number of possible combinations of restrictions on the values of the parameters ensuring the preservation of its S-like shape increases significantly. The solution to the approximation problem in this case consists of solving a sequence of conditional global optimization problems with different constraints and choosing a solution that provides the smallest approximation error. Also, the studies of the accuracy of estimating the parameters of the Ramsey curve in accordance with the accuracy of the experimental data have been carried out. In order to simulate the presence of measurement errors, the values of a normally distributed random variable with a mathematical expectation equal to zero and different values of thestandard deviation for different series of computational experiments were added to the valuesof the deterministic sequence. Computational experiments have shown a significant sensitivity of the values of the Ramsey function parameters to the measurement accuracy of experimental data.