Відновлення розривної функції двох змінних різними інформаційними операторами з використанням трикутних елементів

Abstract

Досліджуються методи побудови математичних моделей розривних функцій двох змінних з використанням різної інформації про них: односторонні значення в точках та односторонні сліди вздовж заданої системи ліній. Розглядається випадок, коли область визначення шуканої функції тріангульована прямокутними трикутниками. Якщо застосовувати інтерполяційні або апроксимаційні методи наближення, то для їх побудови повинні бути задані значення функції в заданих точках;якщо ж застосовувати інтерлінаційні методи – сліди шуканої функції вздовж заданої системи ліній. В роботі будуються розривний інтерполяційний та апроксимаційний сплайни для наближення розривної функції двох змінних із заданими односторонніми значеннями в заданій системі точок (в нашому випадку, в вершинах прямокутних трикутників), доводяться теореми про оцінку похибки наближення побудованими розривними конструкціями. Також в роботі будується розривний інтерлінаційний сплайн, в якому використовується зовсім інша інформація про розривну функцію – односторонні сліди вдовж заданої системи ліній (в нашому випадку, вздовж сторін прямокутних трикутників). Інтерлінація функцій може знайти широке застосування в автоматизації проектування корпусів літаків, автомобілів; під час отримання і обробки результатів гідролокації та радіолокації, при вирішенні задач компʼютерної томографії, в цифровій обробці сигналів і в багатьох інших областях. В статті також доводяться теореми про інтегральний вигляд залишку та про оцінку похибки наближення побудованим розривним оператором інтерлінації. Наводяться обчислювальні експерименти, які порівнюють результати наближення розривної функції двох змінних різними інформаційними операторами з використанням трикутних елементів. Надалі планується застосувати побудовані оператори розривної апроксимації та інтерлінації для вирішення двовимірної задачі компʼютерної томографії з суттєвим використанням неоднорідності внутрішньої структури тіла, яку необхідно відновити.

The paper examines methods for constructing mathematical modelsof two variables discontinuous functions using various information about them: one-sided values at points and one-sided traces along a given system of lines. The case is considered when the domain of the required function is trian-gulated by right-angled triangles. If interpolation or approximation methods are used, then for their construction the values of the function at given points must be given; if we useinterlination methods, then traces of the desired function along a given system of lines. In this work, we construct a discontinuous interpolation and approximation splines for approximating a discontinuous function of two variables with given one-sided values in a given system of points (in our case, at the vertices of right-angled triangles), and prove theorems on the estimation of the approximation error by con-structed discontinuous structures. In the paper a discontinuous interlination spline, which uses completely different information about the discontinuous function, namely one-sided traces along a given system of lines (in our case, along the sides of right-angled triangles) is also built. Interlination of functions can find wide application in the aircraft and automobile body design automation; when receiving and processing the results of sonar and radar, when solving problems of computed tomography, in digital signal processing and in many other areas. In the paper theorems on the integral form and an estimate of the approximation error by the constructed discontinuous interlination operator are also proved. Computational experiments that compare the results of the approximation of a discontinuous function of two variables by different information operators using triangular elements are presented. In the future, it is planned to apply the constructed operators of discontinuous approximation and interlination tosolve a two-dimensional problem of computed tomography with a significant use of the inhomogeneity of the internal structure of the body, which must be reconstructed.