Методичні вказівки до виконання лабораторних завдань з навчальної дисципліни "Математичні методи моделювання та обробки даних". Частина 2

Abstract

Сучасні науково-технічні досягнення нерозривно пов’язані з умінням аналізувати, описувати та передбачати поведінку складних систем. Одним із найважливіших математичних інструментів, що дозволяють це здійснювати, є диференціальні рівняння. Вони відіграють вирішальну роль у математичному моделюванні динамічних процесів у таких сферах, як механіка, термодинаміка, біологія, електротехніка, економіка, хімія та екологія. Особливе місце серед них посідають диференціальні рівняння другого порядку, які описують процеси, що залежать як від величини змінної, так і від її першої та другої похідних — тобто від швидкості та прискорення зміни. Це дозволяє адекватно відобразити інерційні та коливальні явища, реакції з часовими затримками, адаптивні зміни в біологічних системах, коливання в електричних колах тощо. Опанування методів побудови та розв’язання таких рівнянь є критично важливим для підготовки кваліфікованого фахівця інженерного, фізико математичного або природничого профілю. Здатність формулювати математичну модель реального процесу, аналізувати її поведінку та будувати розв’язок дозволяє фахівцеві приймати обґрунтовані рішення, прогнозувати наслідки впливу різних параметрів і керувати системами на основі отриманих результатів. У багатьох прикладних галузях виникає потреба в моделюванні процесів, які змінюються з часом і мають складну динаміку. Прикладами таких задач є: • гармонічні та загасаючі коливання в механіці; • охолодження тіл або теплообмін у біологічних об’єктах; • коливання електричного струму в RLC -колах; • зростання або спад доходу в економічних моделях; • розпад хімічних речовин під час реакцій. Для опису таких процесів диференціальні рівняння другого порядку є не просто зручним, а необхідним інструментом. Уміння працювати з ними забезпечує аналітичне мислення та дозволяє студенту поєднувати теоретичні знання з практичними навичками дослідження реальних задач.