Нові інформаційні оператори в задачах чисельного інтегрування функцій трьох змінних

Abstract

Сучасний етап розвитку багатьох технічних напрямків характеризується швидким впровадженням нових цифрових технологій, алгоритмів, методів. Розвиток інформаційних технологій сприяв виникненню нових підходів до отримання, обробки та аналізу інформації. Поява нових підходів до отримання вхідної інформації вимагає подальшої розробки нових алгоритмів та створення нових чисельних методів для вирішення необхідних задач. Виникає проблема побудови нових або вдосконалення відомих математичних моделей, а також їх ефективної комп’ютерної реалізації. Відповідно до типу моделювання в процесі підготовки інформації широко використовуються, зокрема, методи теорії ймовірностей і математичної статистики, одно та багатовимірної теорії інтерполяції та апроксимації. Поряд із задачами багатовимірної інтерполяції при побудові математичних моделей різноманітних процесів широко використовується теорія нових інформаційних операторів. До нових інформаційних операторів відносяться оператори, які відновлюють проміжні значення величин за наявним набором відомих значень функції багатьох змінних на лініях, площинах, тощо. Автором цієї теорії є Лауреат Державної премії України в галузі науки і техніки, доктор фізико-математичних наук, професор О. М. Литвин. Теорія нових інформаційних операторів ефективно зарекомендувала себе в багатьох галузях науки, зокрема, при математичному моделюванні соціально-економічних та природничих процесів. Прикладом ефективного застосування теорії нових інформаційних операторів, де в залежності від типу завдання інформації вибирається алгоритм, є теорія обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій багатьох змінних.

Modern development of many technical areas is characterized by the rapid introduction of new digital technologies, algorithms, and methods which contribute to the emergence of latest approaches to obtaining, processing and analyzing information. It leads to further creation of new numerical methods for solving corresponding issues. Thereupon, there arises a problem of building new or improving known mathematical models, as well as their effective computer implementation. Depending on the modeling type the methods of probability theory and mathematical statistics, one- and multidimensional interpolation and approximation theory are widely used in the process of preparing information. Along with the tasks of multidimensional interpolation, operators that restore intermediate values of quantities from an existing set of known data are widely used in the construction of mathematical models of various processes, in particular, when the values of a function of many variables on lines, planes, etc. are known. An example of the effective use of the above operators is the theory of calculating integrals of highly oscillating functions of many variables since the algorithm is chosen depending on the type of information about the functions. The author of this theory is the Laureate of the State Prize of Ukraine in Science and Technology, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor O.M. Lytvyn. The purpose of this article is to review the results of applying the theory of new information operators to the calculation of integrals of fast oscillating functions of many variables, as well as to present a new cubature formula for the approximate calculation of double integrals of fast oscillating functions of general type. The cubature formula is effective in terms of using the input information to achieve a given accuracy.