Розв’язання матричного рівняння Сільвестра спектральним методом

Abstract

Матричні лінійні рівняння Сільвестра та Ляпунова широко використовуються в теорії управління і теорії стійкості руху, а також при розв’язанні рівняння Ріккаті у задачі аналітичного конструювання оптимальних регуляторів. Особливої актуальності проблема розв’язання рівняння Сільвестра придбала у зв'язку з вирішенням завдань синтезу спостерігачів Люенбергера зниженої розмірності та задач модального синтезу систем управління лінійними автоматичними системами. У роботі проведено аналіз існуючих методів розв’язання матричного рівняння Сільвестра. Обґрунтовано обмеженість основних методів чисельного розв’язання матричних рівнянь, а також відсутність аналітичних методів розв’язання. В роботі запропоновано досить простий метод розв’язання лінійного матричного рівняння Сільвестра, що є узагальненням широко відомого в теорії стійкості матричного рівняння Ляпунова. В основу методу покладено спектральне розкладання матричного лінійного оператора за його власними векторами, що представляють собою матриці, утворені добутками власних векторів матриць лінійного і спряженого до нього операторів. У результаті отримано конструктивний розв'язок матричного рівняння Сільвестра. Розглянуто випадки як дійсних так і комплексно спряжених власних чисел матриць рівнянь Сільвестра. Розроблено алгоритм і програмне забезпечення для розв’язання матричного рівняння Сільвестра великої розмірності. Для реалізації методу використовуються стандартні процедури розв’язання повної задачі на власні значення для дійсних матриць. Чисельні експерименти підтвердили високу ефективність запропонованого методу як з точки зору витрат часу так і точності отриманих результатів при розв’язанні матричних рівнянь Сільвестра і Ляпунова великої розмірності.

The matrix linear equations of Sylvester and Lyapunov are widely used in the control theory and theory of movements sustainability, as well as in solving the Riccati equation in the problem of the analytical construction of optimal controllers. The problem of solving the Sylvester equation has gained particular relevance in connection with the solution of problems of synthesis of low-dimensional Luenberger observers and problems of modal synthesis of control systems for linear automatic systems. The following paper analyzes the existing methods for solving the Sylvester matrix equation. It was justified the limitedness of the basic methods for the numerical solution of matrix equations, as well as the lack of analyti cal methods for solving. In this paper we propose quite simple method for solving the linear matrix Sylvester equation, which is a generalization of the widely known in the theory of stability of the Lyapunov matrix equation. The method is based on the spectral decomposition of the matrix linear operator in its eigenvectors, which are the matrices formed by the multiplication of the matrices` eigenvectors of the linear and conjugate operators. As a result, a n analytical solution of the Sylvester matrix equation is obtained. We consider the cases of both real and complex conjugate roots of the characteristic equations of the matrices of Sylvester equations. In order to solve the Sylvester matrix equation of a large dimension the algorithm and software have been developed. For the method implementation the standard procedures of solving the complete eigenvalue problem for real matrices are used. After conducting a great number of experiments it was confirmed the high efficiency of the proposed method both in terms of time costs and the accuracy of the r esults obtained when solving the matrix equations of Sylvester and Lyapunov of large dimension.