Осциляції артеріальних судин з біоактивного матеріалу за наявності лінійного керування

Abstract

Для діагностичного аналізу та інтерпретації параметрів пульсових хвиль, які вимірюються в артеріях пацієнта, потрібні відповідні математичні моделі, які найчастіше базуються на рівняннях Навє-Стокса для крові як в’язкоїрідини та рівняннях пасивної в’язкопружної стінки. Такі моделі не дозволяють виявити коротко- та довгострокові зміни артеріального тиску та діаметру артерій, що пов’язані з їх активної реакцією на локальні і глобальні зміни тиску та швидкості крові. За наявності біоактивності коливання тиску, які задаються скороченнями серця, приводять до різноспрямованих зсувів фаз кривих коливань тиску p(t) та діаметру артерій d(t), нелінійних залежностей між амплітудами їх коливань, а також відповідних залежностей від частоти. В роботі наведено короткий огляд математичних моделей біоактивних матеріалі, у тому числі нуль-, одно- і двовимірних. Задача зв’язаних коливань p(t) та d(t) за наявності регуляції через концентрації вазоактивних речовин зведена до нелінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку. Досліджений розв’язок рівняння при різних наборах параметрів моделі, які відповідають артеріальним судинам людини. Проведено порівняльний аналіз поведінки пасивної та активної стінки. Отримані умови монотонної залежності напруженні-деформації, а також залежностей S-типу і N-типу. Запропоновано нові індекси для медичної діагностики.

Diagnostic analysis and interpretation of the pulse wave parameters measured on the patient’s arteries, appropriate mathematical models are needed. The most often required models are based on the Navier- Stokes equations for blood as a viscous liquid, and dynamic equations for passive viscoelastic wall. Such models do not allow detecting short- and long-term changes in the arterial blood pressure and local diameters associated with their active response to local and global changes in the blood pressure and flow rate. In the presence of bioactivity, the pressure fluctuations, which are specified by the heart contractions, lead to divergent phase shifts between the pressure p(t) and d(t) oscillation curves, nonlinear dependencies between the amplitudes of their oscillations, and the corresponding dependences on the frequency. A brief review of the mathematical models of bioactive materials, including zero-, one-dimensional and twodimensional ones, is presented in this work. The problem of coupled oscillations p(t) and (t) in the presence of regulation through the concentration of vasoactive substances is reduced to a nonlinear ordinary differential equation of the second order. The solution of the equation is computed at a wide set of model parameters, which correspond to the arterial vessels. A comparative analysis of passive and active wall behavior is carried out. The conditions for monotonic strain-strain dependence and the dependencies of Stype and N-type are obtained. New indexes for medical diagnostics are proposed.