Аналітичне рішення оберненого і прямого завдання кінематики просторового кутового маніпулятора АВВ з подальшим 3D-моделюванням

Abstract

У статті пропонується алгоритм вирішення оберненої задачі кінематики шестиступеневого кутового маніпулятора на базі моделі робота АВВ. Алгоритм заснований на отриманих авторами аналітичних викладках, які становлять послідовність виразів, що дозволяють за заданим законом руху вихідної ланки – захвату визначити всі 6 кутів повороту частин кінематичних пар, що з’єднують ланки. Спочатку з умов виконання захватом виробничого завдання визначається закон його руху – функціями часу декартових координат полюса та орієнтаційних параметрів. За полюс може бути обрана будь-яка точка захвату. Як орієнтаційні параметри можуть використовуватися кватерніон або матриця повороту. Показано, як можна побудувати матрицю повороту та кватерніон за законами зміни декартових координат трьох точок захвату. Особливістю маніпулятора, що розглядається тут, є наявність загальної точки осей повороту трьох останніх ланок. Це дозволяє із закону руху захвату визначити закон руху цієї точки. Після чого однозначно визначаються законі зміни кутів повороту трьох перших ланок. При цьому одночасно вирішується орієнтаційне завдання цих ланок. Для визначення кутів трьох останніх ланок складається матричне чи кватерніонне рівняння, виходячи з еквівалентності двох послідовностей поворотів ланок. Перша – сукупність вже відомих поворотів від третьої ланки через другу та першу ланку до абсолютної системи координат і, нарешті, від абсолютної системи до захвату. Параметри цих поворотів відомі. Друга послідовність – це 3 повороти на невідомі кути трьох крайніх ланок від третьої знову до захвату. Ці невідомі кути визначаються з такого рівняння. Виклад складу запропонованого алгоритму ведеться з урахуванням маніпулятора АВВ, але може бути прикладений до маніпуляторів класу ПУМА. Алгоритм реалізований за допомогою спеціальної системи комп'ютерної алгебри КіДиМ та розробленої програми на С++, яка використовує можливості OpenGL та SolidWorks, що дозволяють 3D-візуалізацію результатів розрахунків.

This article proposes an algorithm for solving the inverse kinematics problem of a six-degree angular manipulator based on the ABB robot model. The algorithm is based on analytical derivations obtained by the authors, which consist of a sequence of expressions that allow determining all six rotation angles of the kinematic pair parts that connect the chains by a given law of movement of the output chain – the gripper. Initially, the law of its movement – functions of time of Cartesian coordinates of the pole and orientation parameters – is determined from the conditions of performing a production task by the gripper. Any point of the gripper can be chosen as the pole. Quaternion or rotation matrix can be used as orientation parameters. It is shown how a rotation matrix and quaternion can be constructed according to the laws of change of Cartesian coordinates of three gripper points. A distinctive feature of the manipulator discussed here is the presence of a common rotation axis point for the last three chains. This allows determining the law of movement of this point from the law of movement of the gripper. After which the laws of change of rotation angles of the first three chains are uniquely determined. At the same time, the orientation task of these chains is solved. To determine the angles of the last three links, a matrix or quaternion equation is compiled, based on the equivalence of two sequences of chain rotations. The first sequence is a combination of already known rotations from the third chain through the second and first chain to the absolute coordinate system and, finally, from the absolute system to the gripper. The parameters of these rotations are known. The second sequence consists of 3 rotations at unknown angles of the last three chain from the third again to the gripper. These unknown angles are determined from such an equation. The presentation of the proposed algorithm takes into account the ABB manipulator but can be applied to manipulators of the PUMA class. The algorithm is implemented using a special computer algebra system KidyM and a developed C++ program, which uses OpenGL and SolidWorks engineering graphic packet that allow 3D visualization of the calculation results.