Аналітичний опис та алгоритм розрахунків механіки конструкцій з балками бернуллі – ейлера у ССКА КіДиМ

Abstract

Розглянуто завдання розробки універсального аналітичного опису та алгоритму автоматичного комп’ютерного проведення розрахунків динаміки, статики та кінетостатики механічних моделей конструкцій, що включають балкові грати. Це можуть бути розрахунки перехідних процесів, вільних та вимушених коливань, що встановилися, визначення положень рівноваги та напружено-деформованого стану при статичних та динамічних навантаженнях тощо. Сама конструкція може бути плоскою або просторовою, нерухомою або рухатися на площині чи в просторі, до неї можуть бути прикріплені різні прилади та пристрої. Також можна враховувати будь-які в’язі. Показано, як можна лаконічно спеціальною мовою підготовки комп’ютерних даних аналітично описати частину конструкції, що представляє балочні грати. За підсумками теорії пружності балок Бернуллі – Ейлера отримано 2 форми канонічного уявлення потенціальної енергії пружної балки. Це дає можливість ввести в мову опису механічних моделей спеціальної системи комп’ютерної алгебри КіДиМ (ССКА КіДиМ) новий елемент – балку, для якої вказується положення систем координат, пов’язаних з крайніми перерізами. Положення цих перерізів визначаються вузлами ґрат як твердими тілами. Кутові та лінійні координати таких тіл дають узагальнені координати механічної моделі. Розроблено алгоритм формування елементів, прийнятих для опису механічних моделей у ССКА КіДиМ. Таким чином формується пружна структура механічної моделі. Наявними засобами у цій програмі автоматично будуються рівняння динаміки та статики, тобто формується математична модель, і можуть бути проведені динамічні та статичні розрахунки. У статті на прикладі розрахунку деформаційного стану пружної решітки – основи БпЛА (безпілотного літального апарату) докладно демонструється запропонована методика. Проведено порівняння результатів із розрахунками за програмою ANSYS.

The problems of developing a universal analytical description and algorithm for automatic computer calculations of dynamics, statics and kinetostatics of mechanical models of structures including a beam lattice are considered. This can be calculations of transient processes, steady-state free and forced oscillations, determination of equilibrium positions and stress-strain states under static and dynamic loads, etc. The structure itself can be flat or spatial, stationary or moving on a plane or in space. Various instruments and devices can be attached to it. Arbitrary connections can be taken into account. It is shown how it is possible to succinctly, using a special language for preparing computer data, analytically describe a part of a structure representing a beam lattice. Based on the theory of elasticity of Bernoulli-Euler beams, 2 forms of the canonical representation of the potential energy of an elastic beam are obtained. This makes it possible to introduce into the language of description of mechanical models of the special computer algebra system KiDyM (SCAS KiDyM) a new beam element, for which the position of the coordinate systems associated with the extreme sections is indicated. The positions of these sections are determined by lattice nodes, like solid bodies. Angular and linear coordinates of such solid bodies give generalized coordinates of the mechanical model. An algorithm has been developed for the formation of elements adopted to describe mechanical models in SCAS KiDyM. Thus, the elastic structure of the mechanical model is formed. Using the available tools in this program, equations of dynamics and statics are automatically constructed, that is, a mathematical model is formed, and dynamic and static calculations can be carried out. The proposed method is demonstrated in detail on the example of calculating the deformation of an elastic lattice, with is the basis of a UAV (unmanned aerial vehicle). The results are compared with calculations using the ANSYS program.