Алгоритмічне визначення рівноважного/усталеного положення динамічної системи кінцево-кроковим методом

Abstract

Розглядається задача алгоритмічного оцінювання рівноважного/усталеного положення динамічної системи на основі мінімальної кількості вимірювань вихідної величини в рівновіддалених моментах часу. Для цього застосований кінцево-кроковий метод, який полягає в формуванні за певними правилами сум і різниць значень вихідної величини, що розташовані симетрично на осі часу відносно деякого моменту, який можна визначити апріорі. В результаті формуються перевизначені системи лінійних рівнянь відносно введених фіктивних невідомих і на основі необхідної умови існування розв’язку цих систем знаходяться формули для визначення рівноважного/усталеного положення динамічної системи. Наведені алгоритми визначення рівноважного/усталеного положення для наступних математичних моделей вихідної величини: у вигляді постійної складової і затухаючої експоненти, у вигляді постійної складової та затухаючої синусоїди, у вигляді постійної складової і двох незатухаючих синусоїд, у вигляді постійної складової, затухаючої складової і незатухаючої синусоїди. Показано, що в умовах відсутності похибок вимірювань вихідної величини похибка оцінювання рівноважного/усталеного положення перехідного процесу залежить тільки від похибки розв’язання системи лінійних рівнянь. Обговорюються шляхи використання надлишкової кількості вимірювань.

The problem of algorithmic estimation of the equilibrium/stationary state of the dynamic system based on the minimum number of measurements of the output quantity at equidistant time points is considered. For this, a finite-step method was used, which consists in the formation, according to certain rules, of the sums and differences of the values of the output quantity, which are located symmetrically on the time axis relative to a certain moment that can be determined a priori. As a result, overdetermined systems of linear equations are formed with respect to the introduced fictitious unknowns, and based on the necessary condition for the existence of a solution to these systems, formulas are found to determine the equilibrium/stationary position of the dynamic system. Algorithms for determining the equilibrium /stationary state for the following mathematical models of the output value are given: in the form of a constant component and a damped exponent, in the form of a constant component and a damped sinusoid, in the form of a constant component and two undamped sinusoids, in the form of a constant component and a damped sinusoid. It is shown that in the absence of measurement errors of the output value, the error in estimating the equilibrium/stationary state of the transient process depends only on the error in solving the system of linear equations. Ways of using the redundant number of measurements are discussed.