Побудова розв'язку системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту
Вантажиться...
Дата
2023
ORCID
DOI
https://doi.org/10.20998/2222-0631.2023.01.17
Науковий ступінь
Рівень дисертації
Шифр та назва спеціальності
Рада захисту
Установа захисту
Науковий керівник
Члени комітету
Видавець
Стильна типографія
Анотація
В даній роботі розглянуто систему сингулярно збурених диференціальних рівнянь 4-го порядку з малим параметром при старшій похідній і точкою звороту. Точка звороту є крайньою точкою відрізку, що розглядається [-l; 0] . Коефіцієнти заданої матриці є нескінченно диференційованими функціями на заданому відрізку. Мета – побудувати рівномірну асимптотику розв’язку для системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту на відрізку [-l; 0] . В даному випадку спектр граничного оператора містить кратні і тотожно рівні нулю елементи. Рівномірний асимптотичний розв’язок побудовано методом істотно особливих функцій з використанням функцій Ейрі [0; l] та їх похідних. Дослідження показали, що для побудови рівномірного асимптотичного розв’язку задач з точками звороту апарат функцій та модельних рівнянь Ейрі є досить ефективним. Також було встановлено, що для виділення цих функцій поряд з незалежною змінною необхідно ввести нову змінну t на відрізку [0; l]. В результаті було одержано розширену задачу, що дасть можливість формально побудувати розв’язок у вигляді рядів за малим параметром. Конструкції розв’язків одержано шляхом послідовного розв’язання систем ітераційних рівнянь, які на певному кроці ітерацій дозволяють визначити всі компоненти шуканих вектор-функцій з точністю до двох скалярних множників, які утворюють довільний вектор. Регуляризуючу функцію вибрано таким чином, що функція Ейрі Bi (t) необмежено зростає, коли t →∞. Проведені дослідження показали, при жодному співвідношенні знаків коефіцієнта матриці, біля якого знаходиться точка звороту, не можна записати гладкий розв’язок у вигляді одного аналітичного виразу. Розв’язок виродженого векторного рівняння у загальному випадку має розрив другого роду в точці звороту, тому для побудови асимптотичного розв’язку даної задачі в явному вигляді його використовувати не можна. З цією метою було застосовано прийом з класичної теорії лінійних диференціальних рівнянь і одержано розв’язки для виродженого рівняння 2-го порядку.
In this work, a system of singularly perturbed differential equations of the 4th order with a small parameter at the highest derivative and a turning point is considered. The turning point x = 0 is located in the end of the segment [-l;0] under consideration. The coefficients of a given matrix are infinitely differentiable functions on a given interval. The goal is to construct a uniform solution asymptotics for a system of singularly perturbed differential equations with a differential turning point on the segment [-l;0] . In this case, the spectrum of the limit operator contains multiple and identically zero elements. The uniform asymptotic solution is constructed by the method of essential-singular functions using the Airy functions [0;l] and their derivatives. Studies have shown that the Apparatus of Airy functions and model equations is quite effective for constructing a uniform asymptotic solution of problems with turning points. It was also established that in order to select these functions along with the independent variable it is necessary to introduce a new variable t of the segment [0;l] . As a result, an extended problem will be obtained, which will make it possible to formally find the solution in the form of series with a small parameter. The constructions of the solutions are obtained by sequentially solving the systems of iterative equations, which at a certain step of the iterations make it possible to determine all the components of the sought-after vector functions with an accuracy of two scalar factors that form an arbitrary vector. The regularizing function Bi (t) is chosen in such a way that the function increases indefinitely when t →∞ . The conducted studies showed that for any ratio of the signs of the matrix coefficient near which the inflection point is located, it is not possible to write down a smooth solution in the form of a single analytical expression. The solution of a degenerate vector equation in the general case has a discontinuity of the second kind at the inflection point, so it cannot be used explicitly to construct the asymptotic solution of this problem. For this purpose, a technique from the classical theory of linear differential equations was applied and solutions for a degenerate equation of the 2nd order were obtained.
In this work, a system of singularly perturbed differential equations of the 4th order with a small parameter at the highest derivative and a turning point is considered. The turning point x = 0 is located in the end of the segment [-l;0] under consideration. The coefficients of a given matrix are infinitely differentiable functions on a given interval. The goal is to construct a uniform solution asymptotics for a system of singularly perturbed differential equations with a differential turning point on the segment [-l;0] . In this case, the spectrum of the limit operator contains multiple and identically zero elements. The uniform asymptotic solution is constructed by the method of essential-singular functions using the Airy functions [0;l] and their derivatives. Studies have shown that the Apparatus of Airy functions and model equations is quite effective for constructing a uniform asymptotic solution of problems with turning points. It was also established that in order to select these functions along with the independent variable it is necessary to introduce a new variable t of the segment [0;l] . As a result, an extended problem will be obtained, which will make it possible to formally find the solution in the form of series with a small parameter. The constructions of the solutions are obtained by sequentially solving the systems of iterative equations, which at a certain step of the iterations make it possible to determine all the components of the sought-after vector functions with an accuracy of two scalar factors that form an arbitrary vector. The regularizing function Bi (t) is chosen in such a way that the function increases indefinitely when t →∞ . The conducted studies showed that for any ratio of the signs of the matrix coefficient near which the inflection point is located, it is not possible to write down a smooth solution in the form of a single analytical expression. The solution of a degenerate vector equation in the general case has a discontinuity of the second kind at the inflection point, so it cannot be used explicitly to construct the asymptotic solution of this problem. For this purpose, a technique from the classical theory of linear differential equations was applied and solutions for a degenerate equation of the 2nd order were obtained.
Опис
Ключові слова
сингулярно збурені диференціальні рівняння, малий параметр, рівномірна асимптотика, простір безрезонансних розв’язків, функції Ейрі, точка звороту, singularly perturbed differential equations, small parameter, uniform asymptotics, space of resonance-free solutions, Airy functions, turning point
Бібліографічний опис
Зеленська І. О. Побудова розв'язку системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту / І. О. Зеленська // Вісник Національного технічного університету "ХПІ". Сер. : Математичне моделювання в техніці та технологіях = Bulletin of the National Technical University "KhPI". Ser. : Mathematical modeling in engineering and technologies : зб. наук. пр. – Харків : Стильна типографія, 2023. – № 1. – С. 116-121.