Побудова розв'язку системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту

Abstract

В даній роботі розглянуто систему сингулярно збурених диференціальних рівнянь 4-го порядку з малим параметром при старшій похідній і точкою звороту. Точка звороту є крайньою точкою відрізку, що розглядається [-l; 0] . Коефіцієнти заданої матриці є нескінченно диференційованими функціями на заданому відрізку. Мета – побудувати рівномірну асимптотику розв’язку для системи сингулярно збурених диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту на відрізку [-l; 0] . В даному випадку спектр граничного оператора містить кратні і тотожно рівні нулю елементи. Рівномірний асимптотичний розв’язок побудовано методом істотно особливих функцій з використанням функцій Ейрі [0; l] та їх похідних. Дослідження показали, що для побудови рівномірного асимптотичного розв’язку задач з точками звороту апарат функцій та модельних рівнянь Ейрі є досить ефективним. Також було встановлено, що для виділення цих функцій поряд з незалежною змінною необхідно ввести нову змінну t на відрізку [0; l]. В результаті було одержано розширену задачу, що дасть можливість формально побудувати розв’язок у вигляді рядів за малим параметром. Конструкції розв’язків одержано шляхом послідовного розв’язання систем ітераційних рівнянь, які на певному кроці ітерацій дозволяють визначити всі компоненти шуканих вектор-функцій з точністю до двох скалярних множників, які утворюють довільний вектор. Регуляризуючу функцію вибрано таким чином, що функція Ейрі Bi (t) необмежено зростає, коли t →∞. Проведені дослідження показали, при жодному співвідношенні знаків коефіцієнта матриці, біля якого знаходиться точка звороту, не можна записати гладкий розв’язок у вигляді одного аналітичного виразу. Розв’язок виродженого векторного рівняння у загальному випадку має розрив другого роду в точці звороту, тому для побудови асимптотичного розв’язку даної задачі в явному вигляді його використовувати не можна. З цією метою було застосовано прийом з класичної теорії лінійних диференціальних рівнянь і одержано розв’язки для виродженого рівняння 2-го порядку.

In this work, a system of singularly perturbed differential equations of the 4th order with a small parameter at the highest derivative and a turning point is considered. The turning point x = 0 is located in the end of the segment [-l;0] under consideration. The coefficients of a given matrix are infinitely differentiable functions on a given interval. The goal is to construct a uniform solution asymptotics for a system of singularly perturbed differential equations with a differential turning point on the segment [-l;0] . In this case, the spectrum of the limit operator contains multiple and identically zero elements. The uniform asymptotic solution is constructed by the method of essential-singular functions using the Airy functions [0;l] and their derivatives. Studies have shown that the Apparatus of Airy functions and model equations is quite effective for constructing a uniform asymptotic solution of problems with turning points. It was also established that in order to select these functions along with the independent variable it is necessary to introduce a new variable t of the segment [0;l] . As a result, an extended problem will be obtained, which will make it possible to formally find the solution in the form of series with a small parameter. The constructions of the solutions are obtained by sequentially solving the systems of iterative equations, which at a certain step of the iterations make it possible to determine all the components of the sought-after vector functions with an accuracy of two scalar factors that form an arbitrary vector. The regularizing function Bi (t) is chosen in such a way that the function increases indefinitely when t →∞ . The conducted studies showed that for any ratio of the signs of the matrix coefficient near which the inflection point is located, it is not possible to write down a smooth solution in the form of a single analytical expression. The solution of a degenerate vector equation in the general case has a discontinuity of the second kind at the inflection point, so it cannot be used explicitly to construct the asymptotic solution of this problem. For this purpose, a technique from the classical theory of linear differential equations was applied and solutions for a degenerate equation of the 2nd order were obtained.