Обчислення результатів основних арифметичних дій з кватерніонами, визначеними в інтервальній формі

Abstract

Мета дослідження. Створення EXCEL-орієнтованого калькулятора для визначення результатів основних арифметичних дій з кватерніонами, які задані гіперболічними інтервальними числами. Предмет дослідження. Множина кватерніонів і арифметичні дії, які визначені на цій множині. Метод дослідження. Алгоритмічний і чисельний аналіз процедур виконання основних арифметичних дій з кватерніонами, заданими гіперболічними інтервальними числами. Результати дослідження. Наведено визначення кватерніону, коефіцієнти при ортах якого є інтервальними числами. Отримано співвідношення для визначення в інтервальній формі таких характеристик, як: норма кватерніону, модуль кватерніону, модуль векторної частини кватерніону, аргумент кватерніону, знак кватерніону. Отримано співвідношення для визначення в інтервальній формі основних арифметичних дій: суми кватерніонів, різниці кватерніонів, множення сталої величини на кватерніон, скалярного добутку кватерніонів, добутку векторних частин кватерніонів, добутку кватерніонів, векторного добутку кватерніонів, лівостороннього та правостороннього ділення кватерніонів. Отримано співвідношення для обчислення визначників другого порядку, елементи яких визначено в інтервальній формі. Отримано співвідношення для наближеного обчислення визначників довільного порядку, елементи яких визначено в інтервальній формі. Показано, що операції множення (ділення) інтервальних чисел та піднесення їх до цілочисельного степеня доцільно виконувати, коли вони мають гіперболічну форму. Операцію додавання (віднімання) доцільно виконувати з інтервальними числами, поданими в класичній формі або в системі ЦЕНТР-РАДІУС. Останню форму бажано використовувати у випадку визначення коефіцієнтів ортів кватерніону за результатами технологічних розрахунків. Наведено скрін-копії формул для визначення векторного добутку кватерніонів за умови, що коефіцієнти при їх ортах представлено інтервальними числами.

The goal of the work. Creation of an EXCEL-oriented calculator for determining the results of basic arithmetic operations with quaternions, which are given by hyperbolic interval numbers. The subject of research is the set of quaternions and arithmetic operations defined on this set. Research method: Algorithmic and numerical analysis of procedures for performing basic arithmetic operations with quaternions given by hyperbolic interval numbers. The obtained results. The definition of a quaternion, the coefficients of which are interval numbers, is given. It was obtained the ratios for determining in the interval form the following characteristics: quaternion norm, quaternion modulus, quaternion vector part modulus, quaternion argument, quaternion sign was obtained. It was obtained the ratios for determining in the interval form the following basic arithmetic operations: sum of quaternions, difference of quaternions, multiplication of a constant value by a quaternion, scalar product of quaternions, product of vector parts of quaternions, product of quaternions, vector product of quaternions, left and right division of quaternions. The ratio for calculating the determinants of the second order, the elements of which are defined in the interval form, is obtained. The ratio for the approximate calculation of determinants of arbitrary order, the elements of which are defined in the interval form, is obtained. It is shown that the operations of multiplication (division) of interval numbers and raising them to an integer power are expedient to perform when they have a hyperbolic form. It is advisable to perform the addition (subtraction) operation with interval numbers given in the classic form or in the CENTER-RADIUS system. It is better to use the last form in the case of determining the coefficients of the quaternions based on the results of technological calculations. Screenshots of the formulas for determining the vector product of quaternions are given, provided that the coefficients at their orths are represented by interval numbers.