Studying the behavior of rank (quasirank) and infinitesimal correlation functions or correlation differences in linear transformations of random functions

Abstract

The first-order linear stochastic equation x (n +1) = ax (n) + bx (n), (х )nn=0=x0 determines the simplest kind of regression signal that is widely used in applications. The case where the right part is a non-stationary sequence has not actually been investigated. In the paper the properties of the solution of this equation are studied within the framework of the correlation theory in the case when x (n) belongs to a particular class of random nonstationary signals, in addition, the classification is carried out using the concepts of rank or quasirank of non-stationarity. The Hilbert approach to the correlation theory of random sequences utilized in the paper allows us to study the question of the asymptotic behavior of the correlation function and makes it possible to obtain a simple inhomogeneous representation of the correlation function in terms of the correlation difference.

Лінійне різницеве стохастичне рівняння першого порядку x (n +1) = ax (n) + bx (n), (x)nn=0=x0 визначає найпростіший вид регресійного сигналу, який широко використовується в застосуваннях. Випадок, коли права частина є нестаціонарною послідовністю, фактично не досліджувався. В статті досліджуються властивості розв’язку цього рівняння в межах кореляційної теорії у випадку, коли x (n) належить тому чи іншому класу випадкових нестаціонарних сигналів, до того ж класифікація здійснюється за допомогою понять рангу або квазірангу нестаціонарності. Гілбертів підхід до кореляційної теорії випадкових послідовностей, використаний у статті, дозволяє досліджувати питання про асимптотичну поведінку кореляційної функції і отримати просте однозначне представлення кореляційної функції через кореляційні різниці.