Моделювання динамічного тривимірного тіла з використанням операторів інтерфлетації та мішаної апроксимації

Abstract

Розглядається задача відновлення внутрішньої структури (щiльностi, коефіцієнта поглинання або послаблення) тривимірного тiла за допомогою інформації про неї у вигляді томограм, що задані на деякій системі площин, які перетинають об’єкт дослідження. Ця задача виникає на практиці в тих випадках, коли серед площин, які входять в експериментальні дані, немає площини, що складається з того чи іншого набору точок, які цікавлять дослідника. Наприклад, така задача може виникнути після того, як пацієнт пройшов дослідження на медичному томографі. I після аналізу отриманих томограм виникає необхідність знайти за їх допомогою ще одну чи декілька томограм в площинах, які перетинають тіло та не співпадають з жодною із заданих площин. Зазначається, що оператори інтерфлетації функцій є природнім узагальненням операторів інтерполяції функцій трьох змінних. Тому, як і у випадку інтерполяції, похибки в експериментальних даних (в даному випадку, в томограмах) привносяться також і в оператори інтерфлетації. В математиці існує альтернатива операторам інтерполяції – оператори апроксимації. Це оператори, що побудовані шляхом згладжування експериментальних даних за допомогою поліномів, раціональних функцій, тригонометричних поліномів, вейвлетів тощо. Будується оператор мішаної апроксимації функції трьох змінних за допомогою поліномів Бернштейна; наводиться загальний вигляд похибки наближення побудованим оператором та оцінка цієї похибки. Також в роботі будується та досліджується чотиривимірна математична модель тривимірного тіла, що змінюється з часом. Наводиться обчислювальний експеримент з відновлення внутрішньої структури серця людини за томограмами, що лежать на системі взаємно перпендикулярних площин, які поступають з реально діючого комп’ютерного томографа. В статті представлені деякі можливості роботи з томограмами при відновленні внутрішньої структури тривимірного тіла за відомими проекціями цього тіла (томограмами).

The paper deals with the problem of reconstruction of the internal structure (density, absorption or attenuation coefficient) of a three-dimensional body by the information about it in the form of tomograms, given on a certain system of planes intersecting the object of study. This problem arises in practice in cases where there is no plane among the planes that are included in the experimental data, which consists of one or another set of points that are of interest to the researcher. For example, such a problem may arise after a patient has undergone examinations on a medical tomograph. After analyzing the obtained tomograms, it becomes necessary to find with their help one or more tomograms in the planes intersecting the body, but not coinciding with any of the given planes. It is noted that the operators of interflatation of functions is a natural generalization of the interpolation operators for the functions of three variables. Therefore, as in the case of interpolation, errors in the experimental data (in this case, in tomograms) are also intrоduced into the interflatation operators. In mathematics, there is an alternative to interpolation operators, namely approximation operators. These are operators constructed by smoothing experimental data using polynomials, rational functions, trigonometric polynomials, wavelets, and the like. An operator of mixed approximation of a function of three variables is constructed using Bernstein polynomials; the general form of the approximation error by the constructed operator and the estimate of this error are given. In the paper a four-dimensional mathematical model of a three-dimensional body that changes over time is also built and studied. A computational experiment is presented to restore the internal structure of the human heart from tomograms lying on a system of mutually perpendicular planes, which come from an actually operating computer tomograph. The article presents some possibilities of working with tomograms when restoring the internal structure of a three-dimensional body from the known projections of this body (tomograms).