Геометрично нелінійний згин функціонально-градієнтних пологих оболонок на пружній основі

Abstract

В роботі розглянуто задачу геометрично-нелінійного згину пологих елементів конструкцій, виготовлених з функціонально-градієнтних матеріалів (FGM) під впливом різноманітного поперечного навантаження. Пологі оболонки, що розглядаються, можуть мати довільну форму плану та контактують з пружною основою типу Вінклера-Пастернака. Математичну постановку виконано в рамках класичної геометрично-нелінійної теорії. Для лінеаризації нелінійної системи диференціальних рівнянь рівноваги застосовано метод послідовних навантажень в комплексі з методом Ньютона. Ефективні механічні характеристики FGM змінюються в напрямку товщини та обчислюються згідно зі степеневим законом. Використання теорії R-функцій, дозволило побудувати необхідні системи координатних функцій у разі довільної геометрії плану оболонки та способів її обпирання. Запропонований підхід програмно реалізовано, протестовано та застосовано для розв’язання задач згину пологих оболонок складної форми плану з отворами. Досліджено вплив коефіцієнтів пружності основи, градієнтного показника в розподілі часток металу та кераміки, а також інших параметрів на прогини елементів конструкцій.

The paper considers the problem of geometrically nonlinear bending of shallow structural elements made of functional graded materials (FGM) under the influence of various transverse loads. The shallow shells under consideration may have arbitrary plan shapes and be in contact with an elastic base of the Winkler-Pasternak type. It is assumed that the mechanical properties of functional-gradient materials vary continuously through the thickness and are calculated according to the power law. The mathematical formulation is carried out within the framework of classical geometric-nonlinear theory. To linearize the nonlinear system of equilibrium differential equations, the sequential loading method in combination with Newton's method is applied. To solve a sequence of linear boundary value problems obtained as a result of linearization, the Ritz method is used together with the R-functions theory. The combination of the theory of R-functions and variational methods provided a significant opportunity to conduct numerical experiments on structural elements over a wide range of geometry, loading conditions, boundary constraints, material properties, etc. The use of the theory of R-functions made it possible to construct the necessary systems of coordinate functions for shells with arbitrary geometry and support conditions. The proposed approach was implemented in software, tested, and applied to solve the problems of bending shallow shells of complex plan shapes with holes. The bending of square and hexagonal spherical shallow shells on an elastic base with a circular hole under a uniformly distributed load was considered. The influence of the elasticity coefficients of the base, the gradient index in the distribution of metal and ceramic particles, as well as other parameters on the deflection of structural elements, was studied.