О некоторых метризуемых топологиях для слабо почти периодических функций

Abstract

Статья посвящена изучению метризуемых топологий на аддитивной группе вещественных чисел, которые компактифицируют эту группу. Веденная метризуемая топология слабее исходной естественной топологии на вещественной оси. Она является модификацией топологии Марченко. В ней выделена счетная система окрестностей на базе спектра заданной функции. Построена инвариантная метрика, задающая эквивалентную топологию. Доказана компактность пополненного метрического пространства. Рассмотрена псевдометрика, использующая только спектр заданной скалярно почти периодической функции. Для получения хаусдорфового пространства сделан переход к факторпространству. На факторпространстве псевдометрика является метрикой и показано, что значения скалярно почти периодической функции сов- падают на первоначальном пространстве и на факторпространстве. Доказано утверждение, что множество скалярно почти периодических функций на оси совпадает с множеством скалярно равномерно непрерывных в этой топологии функций, заданных на метрическом пространстве.

The article deals with studying metrizable topologies on the additive group of real numbers that compactify this group. The introduced metrizable topology is weaker than the original natural topology on the real axis. It is a modification of the Marchenko topology. In the introduced topology a countable system of neighborhoods is selected based on the spectrum of a given function. An invariant metric is constructed which defines an equivalent topology. The completed metric space is proved to be compact. A pseudometric using only the spectrum of a given scalar almost periodic function is considered. To obtain the Hausdorff space we pass to a factor space. On the factor space the pseudometric is a metric and it is shown that the values of a scalar almost periodic function on the original space coincide with those on the factor space. It is also proved that the set of scalar almost periodic functions on the axis coincides with the set of functions defined on a metric space, which are scalar uniformly continuous in this topology.