Инвертирование линейных динамических систем в среде квазигармонических сигналов

Abstract

Методы обращения динамических систем нашли широкое распространение для решения задач управления механическими и электрическими системами. Инвертирование динамических систем является эффективным способом реализации процессов управления по возмущению, а также в комбинированных системах управления с прогнозирующей моделью. При решении задач обращения возникает ряд трудностей, связанных с высокой чувствительностью результатов по отношению к точности задания параметров математической модели объекта, неустойчивостью при управлении неминимально-фазовыми объектами, нарушении условий физической реализуемости. В работе предлагается приближенный метод решения задачи обращения линейных стационарных динамических систем во многом свободный от указанных недостатков. Рассматриваются математические модели линейных динамических систем в форме "вход-выход", удовлетворяющие требованиям асимптотической устойчивости, а также условию равенства размерностей векторов входа и выхода. В основе метода лежит представление входных и выходных сигналов их приближениями в линейном пространстве квазигармонических функций времени. Особенностью предложенного метода обращения динамических систем является представление многомерных многочленов в виде произведения прямоугольных матриц на вектор степеней времени. Такое представление позволило свести большинство постановок задач обращения к решению линейных систем матричных алгебраических уравнений. Компьютерная реализация, предложенного подхода к обращению линейной системы, разработана для "квадратных" линейных скалярных систем в условиях квазигармонических сигналов и содержит блоки аппроксимации задания по выходу, формирования матриц линейных систем и правых частей линейных алгебраических уравнений, оценку числа обусловленности решения линейной системы и блок сравнения результата обращения с заданием на основе непосредственного интегрирования дифференциальных уравнений математической модели.The methods of inversion of dynamical systems are widely used for solving the problems of controlling mechanical and electrical systems. The inverting of dynamic systems is an effective way of implementing processes of control according to disturbance, as well as in combined control systems with a predictive model. In solving the problems of inversion, there are number of difficulties related to the high sensitivity of the results in relation to accuracy of specifying the parameters of a mathematical model of an object, the instability in the control of non-minimal-phase objects, and the violation of physical feasibility conditions. The paper suggests an approximate method for solving the inversion problem for linear stationary dynamical systems that is largely free of the indicated disadvantages. The method is based on the representation of input and output signals by their approximations in the linear space of quasiharmonic functions of time. Consider mathematical models of linear dynamical systems in the form "input-output". The systems under consideration must satisfy the requirements of asymptotic stability, and also the condition of equality of dimension of the input and output vectors. A feature of the proposed method of inversion of dynamical systems is the representation of multidimensional polynomials, approximating input and output signals, in the form of a product of rectangular matrices and a vector of power of time. Such a representation allowed reducing most of the statements of inversion problems to the solution of linear systems of matrix algebraic equations. The computer implementation of the proposed approach to the inverting of the linear system is developed for "square" linear scalar systems in conditions of polynomial signal and contains blocks of approximation of the output assignment; the formation of matrices of linear systems and right-hand sides of linear algebraic equations; estimation of the condition number of the solution of the linear system and the block of comparison the result of the inversion with the assignment based on the direct integration of the differential equations of the mathematical model.