Unifirm attractor for wave equation with non-linear damping depending explicitly on time

Abstract

The paper deals with long-time behavior of the solutions to the initial-boundary value problem for a non-autonomous non-linear wave equation. The peculiarity of the equation is the non-linear damping term depending explicitly on time. The problem is studied in the framework of the theory of processes and their attractors. The family of processes generated by the initial-boundary value problem is introduced. It is proved that this family is uniformly (with respect to the time-dependent damping coefficient) dissipative and asymptotically compact, thus possesses a uniqueuniform attractor. The attractor is a compact set in the common phase space of the processes.Вивчається асимптотична поведінка розв’язків початково-крайової задачі для неавтономного нелінійного хвильового рівняння. Особливістю рівняння є те, що доданок рівняння, який відповідає за демпфування, є нелінійним і залежить явно від часу. Дослідження проведено у рамках теорії процесів та їх атракторів. Побудовано сім’юпроцесів, що відповідає початково-крайовій задачі. Доведено, що ця сім’яє рівномірно (відносно коефіцієнта демпфування, який залежить від часу) дисипативною та асимптотично компактною, отже має єдиний рівномірний атрактор. Атрактор є компактною множиною у спільному фазовому просторі процесів.