Using of multilayer neural networks for the solving systems of differential equations

Abstract

В статті розглядається дослідження методів чисельного розв’язку систем диференціальних рівнянь з використанням нейронних мереж. Для досягнення поставленої мети були вирішені наступні взаємозалежні задачі: проведений огляд галузей, що потребують розв’язання систем диференціальних рівнянь, а також реалізований метод розв’язання систем диференціальних рівнянь за допомогою багатошарових нейронних мереж. В роботі показано, що різні типи систем диференціальних рівнянь можуть бути розв’язані єдиним методом, який потребує лише завдання функції втрат для оптимізації, що цілком створюється з диференціальних рівнянь та не потребує розв’язання рівнянь відносно найвищої похідної. Розв’язок систем диференціальних рівнянь за допомогою нейронних мереж є функції задані у аналітичній формі, що можуть бути диференційовані або інтегровані також аналітично. В ході виконання даної роботи була знайдена покращена форма побудови пробного розв’язку систем диференціальних рівнянь, що задовольняє початковим умовам за будовою, але має менший вплив на помилку розв’язку на відстані від початкових умов у порівнянні з формою побудови такого розв’язку. Також було знайдено спосіб модифікації розрахунку функції втрат для випадків, коли процес розв’язання зупиняється в локальному мінімумі, що спричиняться великою залежністю наступних значень функцій від точності знаходження попередніх значень. Серед результатів можна зазначити, що розв’язання систем диференціальних рівнянь за допомогою штучних нейронних мереж може мати точність порівняну з класичними чисельними методами розв’язання диференціальних рівнянь, але зазвичай потребує значно більшого часу для досягнення близьких результатів на задачах малих розмірностей. Основною перевагою використання нейронних мереж для розв’язання систем диференціальних рівнянь є те, що розв’язок знаходиться в аналітичній формі та може бути знайдений не тільки для окремих значень параметрів системи рівнянь, але й для всіх значень параметрів в обмеженій області значень.