Constructing Steklov-type cubature formulas for a finite element in the shape of a bipyramid

Abstract

This paper reports the construction of cubature formulas for a finite element in the form of a bipyramid, which have a second algebraic order of accuracy. The proposed formulas explicitly take into consideration the parameter of bipyramid deformation, which is important when using irregular grids. The cubature formulas were constructed by applying two schemes for the location of interpolation nodes along the polyhe dron axes: symmetrical and asymmetrical. The intervals of change in the elongation (compression) parameter of a bipyramid semi-axis have been determined, within which interpolation nodes of the construc ted formulas belong to the integration region, while the weight coeffi cients are positive, which warrants the stability of calculations based on these cubature formulas. If the deformation parameter of the bipyra mid is equal to unity, then both cubature formulas hold for the octahedron and have a third algebraic order of accuracy. The resulting formulas make it possible to find elements of the local stiffness matrix on a finite element in the form of a bipyramid. When cal culating with a finite number of digits, a rounding error occurs, which has the same order for each of the two cubature formulas. The intervals of change in the elongation (compression) parameter of the bipyramid semi-axis have been determined, which meet the require ments, which are employed in the ANSYS software package, for devia tions in the volume of the bipyramid from the volume of the octahedron. Among the constructed cubature formulas for a bipyramid, the opti mal formula in terms of the accuracy of calculations has been chosen, derived from applying a symmetrical scheme of the arrangement of nodes relative to the center of the bipyramid. This formula is invariant in rela tion to any affinity transformations of the local bipyramid coordinate system. The constructed cubature formulas could be included in libra ries of methods for approximate integration used by those software suites that implement the finite element method. У цій статті повідомляється про побудову кубатурних формул для скінченного елемента у вигляді біпіраміди, що мають другий алгебраїчний порядок точності. Запропоновані формули явно враховують параметр деформації біпіраміди, що є важливим при використанні нерегулярних сіток. Кубатурні формули були побудовані шляхом застосування двох схем розташування інтерполяційних вузлів вздовж осей багатогранника: симетричної та асиметричної. Визначено інтервали зміни параметра подовження (стиснення) напівосі біпіраміди, в межах яких інтерполяційні вузли побудованих формул належать до області інтегрування, а вагові коефіцієнти є додатними, що гарантує стійкість розрахунків на основі цих кубатурних формул. Якщо параметр деформації біпіраміди дорівнює одиниці, то обидві кубатурні формули справедливі для октаедра і мають третій алгебраїчний порядок точності. Отримані формули дозволяють знаходити елементи локальної матриці жорсткості на скінченному елементі у вигляді біпіраміди. При розрахунках з кінцевою кількістю розрядів виникає похибка округлення, яка має однаковий порядок для кожної з двох кубатурних формул. Визначено інтервали зміни параметра подовження (стиснення) напівосі біпіраміди, які відповідають вимогам, що застосовуються в програмному комплексі ANSYS, щодо відхилень об'єму біпіраміди від об'єму октаедра. Серед побудованих кубатурних формул для біпіраміди обрано оптимальну формулу за точністю розрахунків, отриману шляхом застосування симетричної схеми розташування вузлів відносно центру біпіраміди. Ця формула інваріантна відносно будь-яких афінних перетворень локальної системи координат біпіраміди. Побудовані кубатурні формули можуть бути включені до бібліотек методів наближеного інтегрування, що використовуються тими програмними пакетами, які реалізують метод скінченних елементів.