Analysis of multi-threaded markov systems

Abstract

Known technologies for analyzing Markov systems use a well-operating mathematical apparatus based on the computational implementation of the fundamental Markov property. Herewith the resulting systems of linear algebraic equations are easily solved numerically. Moreover, when solving lots of practical problems, this numerical solution is insufficient. For instance, both in problems of structural and parametric synthesis of systems, as well as in control problems. These problems require to obtain analytical relations describing the dependences of probability values of states of the analyzed system with the numerical values of its parameters. The complexity of the analytical solution of the related systems of linear algebraic equations increases rapidly along with the increase in the system dimensionality. This very phenomenon manifests itself especially demonstratively when analyzing multi-threaded queuing systems. Accordingly, the objective of this paper is to develop an effective computational method for obtaining analytical relations that allow to analyze high-dimensional Markov systems. To analyze such systems this paper provides for a decomposition method based on the idea of phase enlargement of system states. The proposed and substantiated method allows to obtain analytical relations for calculating the distribution of Markov system states. The method can be effectively applied to solve problems of analysis and management in high-dimensional Markov systems. An example has been considered.Відомі технології аналізу марківських систем використовують добре працюючий математичний апарат, що спирається на обчислювальну реалізацію основної марківської властивості. Виникаючі при цьому системи лінійних алгебраїчних рівнянь легко вирішуються чисельно. Разом з тим, при вирішенні багатьох практичних завдань цього чисельного рішення недостатньо. Наприклад, у задачах структурного та параметричного синтезу систем, а також у завданнях управління. У цих завданнях необхідно отримати аналітичні співвідношення, що описують залежність значень ймовірностей станів аналізованої системи з чисельними значеннями її параметрів. Складність аналітичного розв'язання відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь швидко зростає зі збільшенням розмірності системи. Саме цей феномен проявляється особливо демонстративно під час аналізу багатопотокових систем масового обслуговування. Відповідно до цього мета роботи – розробка ефективного обчислювального методу отримання аналітичних співвідношень, які забезпечують можливість аналізу марківських систем високої розмірності. У роботі для аналізу таких систем розроблено декомпозиційний метод, заснований на ідеї фазового укрупнення станів системи. Запропонований та обґрунтований метод дозволяє отримати аналітичні співвідношення для розрахунку розподілу ймовірностей станів марківських систем. Метод може бути ефективно застосований для вирішення завдань аналізу та управління в марківських системах високої розмірності. Розглянуто приклад.