Наближення розривної функції двох змінних розривними інтерлінаційними сплайнами з використанням трикутних елементів

Abstract

Робота присвячена розробці методу наближення розривних функцій за допомогою оператора інтерлінації функцій двох змінних. Ці оператори відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими їх слідами на заданій системі ліній. Саме такі експериментальні дані використовуються в дистанційних методах, зокрема в комп’ютерній томографії. Тобто вони надають можливість будувати оператори, інтеграли від яких по вказаних лініях (лінійні інтеграли) будуть дорівнювати інтегралам від самої відновлюваної функції. Отже, інтерлінація – математичний апарат, природно пов’язаний із задачею відновлення характеристик об’єктів за їх відомими проекціями. Існує багато практично важливих наукових та технічних галузей, в яких об’єкти дослідження математично описуються величинами, що зазнають розрив. Такі об’єкти часто виникають також і в задачах, які використовують дистанційні методи. На сьогоднішній день не існує загальної теорії описів явищ та процесів, що описуються розривними функціями. В статті будуються та досліджуються оператори розривної інтерлінації для наближення розривних функцій двох змінних за відомими її слідами (проекціями) на системі ліній з використанням довільних трикутних елементів. На основі створених сплайн-інтерлінантів будується метод наближення функцій, які мають розриви першого роду та область визначення яких розбивається на трикутні елементи. Причому побудовані розривні конструкції включають в себе, як окремий випадок, класичні неперервні інтерлінаційні сплани. В якості експериментальних даних виступають односторонні сліди функції на системі заданих ліній, саме такі дані використовуються в томографії. В роботі наведені теореми про інтерлінаційні властивості та похибку побудованих розривних конструкцій. Побудований метод наближення дозволяє наблизити розривну функцію, уникаючи явища Гіббса. Розглянуто приклади, які підтверджують ефективність запропонованого методу. Запропонований метод наближення розривних функцій можна буде використати для математичного моделювання розривних процесів в медичних, геологічних, космічних та інших дослідженнях.The work is devoted to the development of a method for approximating discontinuous functions using the operator of interlination of two variables functions. These operators reconstruction functions (possibly approximately) from their known traces on a given line system. It is such experimental data that are used in remote remote methods, in particular, in computed tomography. That is, they provide an opportunity to build operators whose integrals over the indicated lines (linear integrals) will be equal to the integrals of the function being restored. So, interlination is a mathematical apparatus naturally associated with the task of restoring the characteristics of objects from their known projections. There are many practically important scientific and technical branches in which objects of research are mathematically described by values that have a discontinuity. Such objects often arise also in tasks using remote methods. To date, there is no general theory of descriptions of phenomena and processes described by discontinuous functions. The paper constructs and explores discontinuous interlination operators for approximating discontinuous functions of two variables according to its known traces (projections) on a system of lines using arbitrary triangular elements. On the basis of the created spline-interlinants, a method is constructed for approximating functions that have discontinuities of the first kind and whose domain of definition is divided into triangular elements. Moreover, the constructed discontinuous structures include, as a special case, the classic continuous interlination splines. The experimental data are one-sided traces of a function on a system of given lines; precisely such data are used in tomography. The paper presents theorems on interlining properties and errors of constructed discontinuous structures. The constructed approximation method allows us to approximate the discontinuous function, avoiding the Gibbs phenomenon. The examples confirming the effectiveness of the proposed method are considered. The proposed method for approximating discontinuous functions can be used for mathematical modeling of discontinuous processes in medical, geological, space and other studies.