Methodology of probabilistic analysis of state dynamics of multi­dimensional semi­-Markov dynamic systems

Abstract

The problem of probabilistic analysis of a complex dynamic system, which in the process of functioning passes from one state to another at random times, is considered. The methodology for calculating the conditional probabilities of the system getting into a given state at a given time t, provided that at the initial time the system was in any of the possible states is proposed. The initial data for analysis are a set of experimentally obtained values of the duration of the system stay in each of the states before transition to another state. Approximation of the resulting histograms using the Erlang distribution gives a set of distribution densities of the duration of the system stay in possible states before transition to other states. At the same time, the choice of the proper Erlang distribution order provides an adequate description of the semi-Markov processes occurring in the system. The mathematical model that relates the obtained distribution densities to the functions determining the probabilistic dynamics of the system is proposed. The model describes a random process of system transitions from any possible initial state to any other state during a given time interval. Using the model, a system of integral equations for the desired functions describing the probabilistic transition process is obtained. To solve these equations, the Laplace transform is used. As a result of solving the system of integral equations, functions are obtained that specify the probability distribution of the system states at any time t. The same functions also describe the asymptotic probability distribution of states. An illustrative example of solving the problem for the case when the distribution densities of the lengths of the system stay in possible states are described by the second-order Erlang distributions is given. The solution procedure is described in detail for the most natural special case, when the initial state is H₀.

Розглянуто задачу імовірнісного аналізу складної динамічної системи, яка в процесі функціонування в випадкові моменти часу переходить з одного стану в інший. Запропоновано методику розрахунку умовних ймовірностей попадання системи в заданий момент часу t в заданий стан за умови, що в початковий момент часу система перебувала в будь-якому з можливих станів. Вихідні дані для аналізу представляють собою безліч експериментально отриманих значень тривалості перебування системи в кожному з станів до відходу в інший стан. Апроксимація одержуваних при цьому гістограм з використанням розподілу Ерланга дає набір щільності розподілу тривалості перебування системи в можливих станах до відходу в інші стани. При цьому вибір належного порядку розподілу Ерланга забезпечує отримання адекватного опису напівмарковських процесів, що протікають в системі. Запропоновано математичну модель, що зв'язує отримані щільності розподілу з функціями, що визначають вірогідну динаміку системи. Модель описує випадковий процес переходів системи з будь-якого можливого початкового стану в будь-який інший стан протягом заданого тимчасового інтервалу. З використанням моделі отримана система інтегральних рівнянь щодо шуканих функцій, що описують імовірнісний процес переходів. Для вирішення цих рівнянь використано перетворення Лапласа. В результаті рішення системи інтегральних рівнянь отримані функції, що задають розподіл ймовірностей станів системи в будь-який момент часу t. Ці ж функції описують також і асимптотичний розподіл ймовірностей станів. Наведено наочний приклад вирішення задачі для випадку, коли щільності розподілу тривалостей перебування системи в можливих станах описані розподілами Ерланга другого порядку. Процедура вирішення задачі описана детально для найбільш природного окремого випадку, коли початковим є стан H₀.